Zápočtová práce k předmětu

PRM042 Matematika na počítači

LS 2002 / 2003

Jaroslava Schovancová 23. září 2003

Obsah

1 Teoretické základy 2 1.1 Definiční obor, obor spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Symetrie (sudost, lichost, periodicita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 První derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Druhá derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Limity první derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Asymptoty funkce v ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Literatura 6

Kapitola 1

Teoretické základy

Při vyšetřování průběhu funkce je potřeba udělat několik následujících kroků: 1. D_{f}, obor spojitosti

2. průsečíky se souřadnými osami

3. symetrie (sudost, lichost, periodicita)

4. limity - i jednostranné - v krajních bodech D_{f}

5. f′(x), intervaly monotonie, lokální a globální extrémy

6. f′′(x), intervaly konvexity a konkávity, inflexní body, H_{f}

7. f′_{+} , f′_{−} v bodech, kde neexistují f′

8. asymptoty v ±∞

9. graf funkce Při vyšetřování průběhu funkcí jsem využila několik vět a definic. Definice a věty zde

uvádím, důkazy vět jsou zazanamenány např. v [2], případně v [3].

1.1 Definiční obor, obor spojitosti

Definice 1.1 Dány množiny M, N. Pak P je zobrazení (funkce) množiny M do množiny N, jestliže platí

(i) ∀ x ∈ M ∃ y ∈ N : [x, y] ∈ P; (ii) ∀ x ∈ M ∀ y_{1}, y_{2} ∈ N : [x, y_{1}] ∈ P &[x, y_{2}] ∈ P ⇒ y_{1} = y_{2}; (iii) ∀ [x, y] ∈ P ⇒ x ∈ M & y ∈ N.

Definice 1.2 M nazýváme definičním oborem zobrazení P.

Definice 1.3 Množina P (M) ⊂ N, nazýváme oborem hodnot zobrazení P.

Definice 1.4 Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a ∈ ℝ, jestliže lim_{x→ a} f(x) = f(a).

Definice 1.5 Funkce f je spojitá na (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě x ∈ (a; b).

Věta 1.1 (Spojitý obraz intervalu.) Spojitý obraz intervalu je interval (nebo 1 bod).

1.2 Symetrie (sudost, lichost, periodicita)

Definice 1.6 Lichá funkce: ∀ x ∈ D_{f} ⇒ −x ∈ D_{f} & f(−x) = −f(x)

Definice 1.7 Sudá funkce: ∀ x ∈ D_{f} ⇒ −x ∈ D_{f} & f(−x) = f(x)

Definice 1.8 Funkce f je periodická , jestliže p ∈ ℝ , ∀ x ∈ D_{f} ⇒ x + p ∈ D_{f} & f(x) = f(x + p).

1.3 Limity

Definice 1.9 Okolí bodu: Nechť A ∈ ℝ ϵ > 0, potom ϵ- okolím bodu A rozumíme množinu U^{ϵ}(a) = (a − ϵ; a + ϵ) .

Jednostranná okolí viz [2], případně v [3].

Definice 1.10 Prstencovým (redukovaným) okolí bodu a ∈ ℝ^{∗} rozumíme množinu P_{(a)}^{ϵ} = U^{ϵ}(a)⧹ {a}.

Definice 1.11 Limita funkce. Nechť a ∈ ℝ, nehť f je reálná funkce, která je definována alespoň na nějakém redukovaném okolí bodu a. Potom řekneme, že f má v bodě a limitu A ∈ ℝ^{∗}, jestliže je splněn axióm ∀ϵ > 0 ∃δ > 0 tak, že ∀x ∈ P_{(a)}^{δ} ⇒ f(x) ∈ U^{ϵ}(a).

Jednostranné limity viz [2], případně v [3].

1.4 První derivace

Definice 1.12 Nechť f je reálná funkce, a ∈ ℝ, a ∈ D_{f}. Pak řekneme, že f má v a derivaci f′(a), jestliže existuje limita:

f′(a) = lim_{h→ 0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} .

Jednostranné derivace viz [2], případně v [3].

Věta 1.2 (Nutná podmínka existence (lokálního) extrému.) Nechť a ∈ ℝ je vnitřní bod intervalu I. Nechť funkce f má v bodě a (lokální) extrém. Potom f′(a) buď neexistuje, nebo je 0.

Věta 1.3 (O vztahu derivace a monotonie.) Nechť I ⊂ ℝ je interval (nedegenerovaný, tj. není to jeden bod) a nechť f je spojitá na I. Nechť ∃ f′(a) v každém vnitřním bodu a ∈ I.

Potom platí:

(i) Je-li f′ > 0 na intervalu I, pak f je rostoucí na intervalu I.

(ii) Je-li f′ ≥ 0 na intervalu I, pak f je neklesající na intervalu I.

(iii) Je-li f′ < 0 na intervalu I, pak f je klesající na intervalu I.

(iv) Je-li f′ ≤ 0 na intervalu I, pak f je nerostoucí na intervalu I.

1.5 Druhá derivace

Definice 1.13 Nechť ∃f^{(n)}(x) vlastní pro x ∈ P_{(a)}^{δ}, a ∈ ℝ. Potom (n+1)-ní derivací

f v bodě a budeme rozumět lim_{h→ 0} \frac{f^{(n)} (a+h)−f^{(n)} (a)}{h} .

Definice 1.14 Nechť ∃ f^{(n)}(a) ∈ ℝ. Pak definujeme T_{a} = {[x; y] ∈ ℝ^{2}, y = f(a) + f′(a)(x − a)} (ţtečna�).

Řekneme, že bod [x, f(x)] grafu funkce f leží nad tečnou T_{a}, jestliže f(x) > f(a) + f′(a)(x − a).

Řekneme, že bod [x, f(x)] grafu funkce f leží pod tečnou T_{a}, jestliže f(x) < f(a) + f′(a)(x − a).

Definice 1.15 Řekneme, že a je inflexní bod funkce f (f má v a inflexi), jestliže ∃ δ > 0 tak, že [x, f(x)] leží nad T_{a} ∀ x ∈ (a − δ; a)

& [x, f(x)] leží pod T_{a} ∀ x ∈ (a, a + δ) nebo naopak.

Definice 1.16 Řekneme, že funkce f je konvexní na otevřeném intervalu (a; b), jestliže ∀ x < y < z, x, y ∈ (a; b): platí \frac{f(y)−f(x)}{y−x} ≤ \frac{f(z)−f(x)}{z−x} ≤ \frac{f(z)−f(y)}{z−y}.

Definice 1.17 Řekneme, že funkce f je konkávní na otevřeném intervalu (a; b), jestliže ∀ x < y < z, x, y ∈ (a; b): platí \frac{f(y)−f(x)}{y−x} ≥ \frac{f(z)−f(x)}{z−x} ≥ \frac{f(z)−f(y)}{z−y}.

Pro ryzí konvexitu nebo konkávitu funkce viz [2], případně v [3].

Věta 1.4 (Nutná podmínka existence inflexe.) Nechť ∃ f′′(a) ≠ 0. Pak f nemá inflexi v bodě a. Věta 1.5 (Postačující podmínka existence inflexe.) Nechť f má spojitou první derivaci na (a; b). Nechť ∃ y ∈ (a; b) takové, že f′′(x) > 0 ∀ x ∈ (a, y) & f′′(x) < 0 ∀ x ∈ (y; b).

Potom y je bodem inflexe funkce f.

Věta 1.6 (O vztahu konvexity a druhé derivace.) Nechť f má spojitou první derivaci na otevřeném intervalu (a; b). Potom je-li f′′ > 0 na (a; b), pak f je ryze konvexní na (a; b).

Nechť f má spojitou první derivaci na otevřeném intervalu (a; b). Potom je-li f′′ ≥ 0 na (a; b), pak f je konvexní na (a; b).

Nechť f má spojitou první derivaci na otevřeném intervalu (a; b). Potom je-li f′′ < 0 na (a; b), pak f je ryze konkávní na (a; b).

Nechť f má spojitou první derivaci na otevřeném intervalu (a; b). Potom je-li f′′ ≤ 0 na (a; b), pak f je ryze konkávní na (a; b).

1.6 Limity první derivace

Věta 1.7 (O limitě derivací.) Nechť f je spojitá zprava v bodě a ∈ ℝ, nechť existuje limita: lim_{x→ a_{+}} f′_{+} (a) = A ∈ ℝ^{∗}. Potom existuje f′_{+} (a) = A.

1.7 Asymptoty funkce v ±∞

Definice 1.18 Řekneme, že funkce x ↦ ax + b, a, b ∈ ℝ je asymptotou funkce f v +∞ (−∞), jestliže lim_{x→ ∞} (f(x) − ax − b) = 0 (lim_{x→ −∞} (f(x) − ax − b) = 0) .

Věta 1.8 (O tvaru asymptoty.) Funkce f má v +∞ asymptotu ax + b právě, když ∃ lim_{x→ +∞} \frac{f(x)}{x} = a ∈ ℝ (vlastní limitu) & lim_{x→ +∞} (f(x) − ax) = b ∈ ℝ (vlastní limita).

Literatura

[1] B.P.Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu, Nauka Moskva, 1977.

[2] Kopáček J.: Matematická analýza pro fyziky I., Matfyzpress Praha, 1997.

[3] Zápisky z přednášek z MA1, viz http://www.schovan.net

Rejstřík

derivace, 6 n + 1-ní, 7

funkce asymptota, 8 inflexní bod, 7 klesající na intervalu, 7 konkávní na (a; b), 7 konvexní na (a; b), 7 lichá, 6 neklesající na intervalu, 7 nerostoucí na intervalu, 7 periodická, 6 rostoucí na intervalu, 7 spojitá, 6 spojitá na (a; b), 6 sudá, 6 tečna, 7

inflexní bod, 7

limita funkce, 6

obor definiční, 5 hodnot, 6

okolí bodu, 6 prstencové, 6 redukované, 6

spojitost, 6

věta

nutná podmínka existence (lokálního)

extrému, 6 nutná podmínka existence inflexe, 7 o limitě derivací, 8 o tvaru asymptoty, 8 o vztahu derivace a monotonie, 7 o vztahu konvexity a druhé derivace,

8 postačující podmínka existence inflexe,

7 spojitý obraz intervalu, 6